The Pythagorean Comma

Pythagoras discovered that by stopping a string at 2/3 of its length it was possible to create a 5th. In theory by repetitively calculating a fifth one can calculate the twelve tones of the scale (the circle of fifths). By dividing the results by 2 for each octave above the base octave it possible to calculate the results for twelve tones in one octave.

Unfortunately the circle of fifths is not a circle, it is a spiral which ends up 23 cents sharp once the tonic is reached. To use this demonstration input your desired starting note on the bottom left corner and click on Calculate The blue lines indicate values raised by a 5th (3/2 ratio) . The error is displayed both in cents and hertz (cents will always stay the same). Compare the starting value at the bottom left of the "home octave with the value for VIII at the top right of the home octavee. VIII should be double I. It never is. This is the Pythagorean comma.

 

    I V II VI III VII bV bII bVI bIII bVII

IV

 I  
  I    
 

VII

                            
bVII                            

VI

                            
bVI                            
V                            
bV                            
IV      
III                            
bIII                            
II                            
bII                            
I                            
  VII                            
bVII        
VI                            
bVI                            
V                            
bV                            
IV                            
III                            
bIII          
II                            
bII                            
I                            
  VII                            
bVII                            
VI                            
bVI                          
V                            
bV                            
IV                            
III                            
bIII                            
II                            
bII                          
I                            
  VII                            
bVII                            
VI                            
bVI                            
V                            
bV                
IV                            
III                            
bIII                            
II                            
bII                            
I                            
  VII                  
bVII                            
VI                            
bVI                            
V                            
bV                            
IV                            
III                    
bIII                            
II                            
bII                            
I                            
  VII                            
bVII                            
VI                      
bVI                            
V                            
bV                            
IV                            
III                            
bIII                            
II                        
bII                            
I                         VIII
  VII                         VII
bVII                         bVII
VI                         VI
bVI                         bVI
V                         V
bV                         bV
IV                         IV
III                         III
bIII                         bIII
II                         II
bII                         bII
I                         I
 
I
V
II
VI
III
VII
bV
bII
bVI
bIII
bVII
IV
I
  Tuning Error = Hertz Cents          
I